撰文 | 阮一峰
有人在Stack Exchange问了一个问题：
"我一向觉得虚数（imaginary number）很难明。
中学老师说，虚数便是-1的平方根。
但是，什么数的平方等于-1呢？核算器直接显现犯错！
直到今日，我也没有搞懂。谁能解说，虚数究竟是什么？
它有什么用？"
帖子的下面，很多人给出了自己的解说，还引荐了一篇十分棒的文章《虚数的图解》。我读后茅塞顿开，醍醐灌顶，本来虚数这么简略，一点也不古怪和难明！
下面，我就用自己的言语，叙述我所了解的虚数。
一
什么是虚数？
首要，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。
这根数轴的正向部分，能够绕原点旋转。明显，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。
这相当于两次逆时针旋转90度。
因而，咱们咱们能够得到下面的关系式：
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)
假如把+1消去，这个式子就变为：
(逆时针旋转90度)^2 = (-1)
将"逆时针旋转90度"记为 i ：
i^2 = (-1)
这个式子很眼熟，它便是虚数的界说公式。
所以，咱们咱们能够知道，虚数 i 便是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。
二
复数的界说
已然 i 表明旋转量，咱们就能够用 i ，表明任何实数的旋转状况。
将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个视点的任何正实数，必定仅有对应这个平面中的某个点。
只需确认横坐标和纵坐标，比方( 1 , i )，就能够确认某个实数的旋转量（45度）。
数学家用一种特别的表明办法，表明这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比方，把 ( 1 , i ) 表明成 1 + i 。这种表明办法就叫做复数（complex number），其间 1 称为实数部，i 称为虚数部。
为何需求把二维坐标表明成这样呢，下一节告知你原因。
三
虚数的效果：加法
虚数的引进，大大便利了涉及到旋转的核算。
比方，物理学需求核算"力的组成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的组成力是多少？
依据"平行四边形法则"，你立刻得到，组成力便是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
这便是虚数加法的物理含义。
四
虚数的效果：乘法
假如涉及到旋转视点的改动，处理起来更便利。
比方，一条船的航向是 3 + 4i 。
假如该船的航向，逆时针添加45度，请问新航向是多少？
45度的航向便是 1 + i 。核算新航向，只需把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就能够了（原因鄙人一节解说）：
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。
假如航向逆时针添加90度，就更简略了。由于90度的航向便是 i ，所以新航向等于：
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
这便是虚数乘法的物理含义：改动旋转视点。
五
虚数乘法的数学证明
为什么一个复数改动旋转视点，只需做乘法就能够了？
下面便是它的数学证明，实际上很简略。
任何复数 a + bi，都能够改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的方式。
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，能够将它们改写如下：
a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
打开后边的乘式，得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )
依据三角函数公式，上面的式子就等于
cos(α+β) + isin(α+β)
所以，
( a + bi )( c + di ) ＝ r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转视点相加。
本文来源于阮一峰的网络日志，戳“http:///blog/2012/09/imaginary_number.html”可检查。
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